未解決リスト

現在
未解決 5 つ
解答不可能と判断 1 つ
残課題 2 つ

■未解決
tan1は有理数か。ただし、1は弧度法で表されているものとする。（qnighy様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/qnighy/1

証明が間違っていたことにあとから気づいたので修正中。
リンデマンの定理で超越数であることを証明しても面白くないので、高校数学の範囲で別の方法がないか検討中。
tan1の正則連分数展開
tan1 = (1+1/(1+1/(1+1/(3+1/(1+1/(5+1/(1+1/(7+1/(……)))))))))
が証明出来れば終わるのだが。


■未解決
９×９マスの平面があり、３×３マスごとの９つのブロックに仕切られている。それぞれのマスには１～９までの整数が入るが、それぞれの行と列、ブロックには同じ数字を重複して入れてはならないものとする。このとき、すべてのマスが埋まる局面は何通り存在するか？（maru_mtod様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/maru_mtod/1

途中から計算が恐ろしく複雑になるので放棄。


■未解決
1～nの数字を一つずつ使い、下記条件を満たす数列a[1],…,a[n]を作る。
条件：「1≦m≦nについて、a[1]＋…＋a[m] はa[m]で割り切れる。」
2＜nのとき、条件を満たす並べ方が少なくとも2つ以上あることを示せ。（amoO_O様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/amoo_o/6

閃かない。


■未解決
一辺が１の正四面体Ｔの内部で、一辺の長さがaである立方体を動かとき、aの最大値を求めよ。ただし表面も内部に含むものとする。（xzexiox様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/xzexiox/1

どういう場合が最大か予想はつくし、その場合の a も出すのは容易だが、本当にそれが最大である証明ができない。
平面で三角形に内接する正方形の話と同じ手法を取ったがこれでは無理なのか？


■一部未解決
AB//CD、AB<CDである台形ABCDについてAB、BC、CD、DAを軸として一回転させて出来るそれぞれの立体の体積比がp:q:r:sであるとき、AB:BC:CD:DAをp,q,r,sで表わせ。（DrGojiMoriCun様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/drgojimoricun/2

AB:CD と BC:DA は出せたが、これらの間の比がわからず。


■解答不可能と判断
正三角形ABCの頂点Bから対辺CAに向かって光を撃つ。撃ち出す方向を辺BCから見て角度θ(0＜θ＜π/3)で定義する。光が辺AB、BC、CAで合計2p-3回（pは素数）反射して頂点に到達する様なθでk番目に小さいものをθ_kとする。cosθ_kを求めよ。（nyoki1007様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/nyoki1007/6

角で反射する場合があり、それも考慮するとオイラーのφ関数の総和が出てきてお手上げ。


■残課題あり
1年を365日として、50人クラスについてそれぞれの確率を求めよ。
１）2人以上の誕生日が重なる確率
２）2人の誕生日が同じ組がk組いる確率[１≦k≦25,kは自然数]
３）3人以上の誕生日が一致する確率（ezo_deer様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/ezo_deer/1
未解決というわけではないが、最後の級数を機械計算ではなく具体的に計算出来ないかという課題が残っている。


■残課題あり
1円支払うと1回引けるクジがあり、1/6の確率で当たると7円貰えるが外れると何も貰えない。このクジを複数回連続で引く時、最終的な収支が±0円以上である確率が95%を超えるのは、クジを何回引く時か。（lemp3様）
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/lemp3/1
スターリングの公式を用いたところ、多少近似の精度が甘かった。
もう少しいい見積もりはできないものか。