数独の局面数（未解決）

９×９マスの平面があり、３×３マスごとの９つのブロックに仕切られている。それぞれのマスには１～９までの整数が入るが、それぞれの行と列、ブロックには同じ数字を重複して入れてはならないものとする。このとき、すべてのマスが埋まる局面は何通り存在するか？（maru_mtod様）

最上段の数字の入れ方を考える。
特に制限は存在しないので 9! = 362880 通り


ある最上段が決まったとして、2 段目の数字の入れ方を考える。
左上ブロックに入れる 3 つを
(i) 最上段で中上ブロックに入ったものを3つ
(ii) 最上段で中上ブロックに入ったものを2つ
(iii) 最上段で右上ブロックに入ったものを2つ
(iv) 最上段で右上ブロックに入ったものを3つ
の場合それぞれにわけて考える。

(i) 最上段で中上ブロックに入ったものを3つ
左上ブロックの並べ方が 3! 通り
右上ブロックに入れられる数字は残り 3 つしかないのでその組み合わせは一意に決まり、
その並べ方が 3! 通り
残った中上ブロックの並べ方が 3! 通り
全部で (3!)^3 通り

(ii)
左上ブロックの数字の選び方が 3×3 = 9 通りで、それぞれ並べ方が 3! 通り
右上ブロックは入れられない数字が 5 つあり、絶対に入れなければいけない数字が 1 つ
よって数字の選び方が 3 通りで、それぞれ並べ方は 3! 通り
残った中上ブロックの並べ方が 3! 通り
全部で 9×3×(3!)^3

(iii) は対称性から (ii) と同じだけある
(iv) は対称性から (i) と同じだけある

よって 2 段目の並べ方は (1+27+27+1)×(3!)^3 = 12096 通り


ある上 2 段が決まったとして、3 段目の数字の入れ方を考える。
各ブロック入る数字の組は既に決まっているので、(3!)^3 = 216 通り


（あまりにめんどくさいのでこのあたりで放棄）



というか、これ普通に論文として出るようなレベルの話です。
http://www.afjarvis.staff.shef.ac.uk/sudoku/sudoku.pdf

この論文によると答えは 6670903752021072936960 通り。