m番目までの和がmで割り切れるような1からnまでの並べ方（未解決）

1～nの数字を一つずつ使い、下記条件を満たす数列a[1],…,a[n]を作る。
条件：「1≦m≦nについて、a[1]＋…＋a[m] はa[m]で割り切れる。」
2＜nのとき、条件を満たす並べ方が少なくとも2つ以上あることを示せ。（amoO_O様）

正n角形を転がしたときに頂点の軌跡が囲む面積

単位円に内接する正n角形をxy平面上に、1頂点が原点にあり、1辺がx軸上正の部分にあり、全体がy≧0にあるように置く。この正n角形をx軸上正の方向に滑らずに転がす時、原点にあった頂点が再びx軸上に戻ってくるまでの軌跡とx軸が囲む領域の面積を求めよ。（amoO_O様）

三角関数と対称式

a、bは実数、s=a+b、t=abとする。
１）|a-b|をs、tを使って表せ。
２）sin(a)+sin(b)をs、tを使って表せ。(amoO_O様)

z と 1/z の描く図形が交わる条件

aを複素数とする。複素数zが|z-a|＝1を満たしている。このとき、zが描く曲線と、1/zが描く曲線（あるいは直線）が共有点を持つようなaの取りうる領域の面積を求めよ。（amoO_O様）

ルーローの三角形と正方形孔

一辺が2の正三角形ABCの各頂点を中心とする半径2の円を描き、3円の共通部分をTとする。Tを一辺が2の正方形Sの内部で自由に動かす。
(1)もとの三角形ABCの頂点のうち少なくとも2点はSの辺上にあることを証明せよ。
(2)Sの内部でTの通らない部分の面積を求めよ。（amoO_O様）