ルーローの三角形と正方形孔

一辺が2の正三角形ABCの各頂点を中心とする半径2の円を描き、3円の共通部分をTとする。Tを一辺が2の正方形Sの内部で自由に動かす。
(1)もとの三角形ABCの頂点のうち少なくとも2点はSの辺上にあることを証明せよ。
(2)Sの内部でTの通らない部分の面積を求めよ。（amoO_O様）

(1)
このルーローの三角形を成す円弧のうち接線が平行な部分は頂点しか存在しない。
よってこれを挟むように幅 2 の平行線を引くと、
「片方が円弧部分に接し、片方が頂点を通っている」または
「両方が頂点で円弧に接している」のいずれかとなる。
いずれにせよこの平行線上に頂点は存在する。

ルーローの三角形の内角は 2π/3であるのでその頂点が S の頂点にあることはない。
したがって S の平行な 2 組の辺上にそれぞれ異なるルーローの三角形の頂点がある。
よって示された。


(2)
S の頂点を (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) にとり、
A が S の辺上にないときの軌跡を考える。
このとき (1) から B と C は S の辺上にある。

B がx軸上を、C がy軸上を動いていて A が (2,2) 近辺にある場合について考える。

いま BC=2 なのでパラメータθを用いて B(2cosθ,0), C(0,2sinθ) と書ける。
ただし BC が S の辺上にあるときを考えるので π/3≦θ≦π/6

このθは ∠CBO の大きさであるので、
A(2cosθ-2cos(θ+π/3), 2sin(θ+π/3)) と書ける。
x座標を書き換えて A(2sin(θ+π/6), 2sin(θ+π/3))

よって角 1 つに相当するルーローの三角形が通らない部分の面積は
∫[x:√3/2→1] (2-y) dx
　= ∫[x:π/6→π/3] {2-2sin(θ+π/3)} 2cos(θ+π/6) dθ
　= ∫[x:π/6→π/3] 4cos(θ+π/6) - 2cos2θ - 1 dθ
　= 4{1-√3/2} - 0 - π/6
　= 4 - 2√3 - π/6

これが四隅にあるので求める面積は
16 - 8√3 - 2π/3