指数関数を回転させたものに球を押し込む

y＝e^xをx軸で回転させた図形をK2とし、半径rの球（座薬）をx軸正の方向からK2の穴へ挿れる。座薬がこれ以上奥へ入らなくなった時の座薬の中心のx座標を求めよ。（amoO_O様）

対称性より、y=e^x の法線がx軸と交わるまでの距離が r であればよい。

y=e^x の (t, e^t) での法線は y-e^t = - e^(-t) (x-t)
よってこれと x 軸との交点は (t+e^(2t), 0) で、
(t, e^t) との距離の平方は e^(4t) + e^(2t) = r^2

よって e^(2t) = {-1+√(1+4r^2)}/2 より t_0 = 1/2 log{{-1+√(1+4r^2)}/2}

したがって求めるx座標は
{-1+√(1+4r^2)}/2 + 1/2 log{{-1+√(1+4r^2)}/2}