直線に無限に近い格子点が存在する証明

0＜r＜1/2とする。x座標、y座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。格子点を中心とする半径rの円が全ての格子点に置かれている。この時、任意のaについて、y＝axは必ず原点以外の円と交わることを示せ。（amoO_O様）

y=ax との距離が r 未満である格子点が存在することを示せばよい。

十分大きな自然数 N を N＞1+1/r であるように取る。

いま、数直線の 0≦x＜1 区間を N-1 等分し、
1a, 2a, 3a, ……, Na の N 個の数を小数部分がどこに属するかで分類する。
すると鳩の巣原理より、どこかの区分には複数の数値が入る。
これを pa, qa (paの小数部分＞qaの小数部分) とすると、
(p-q)a の小数部分は 1/(N-1) 以下、すなわち r 未満である。

いま、格子点 (p-q, [(p-q)a]) と y=ax との距離を考えると、
|(p-q)a-[(p-q)a]| / √(1+a^2) ＜ r / √(1+a^2) ≦ r

よって示された。