周期的な関係式を満たす数列

nを3以上の整数とする。a_1*a_2＝a_3、a_2*a_3＝a_4、……、a_(n-2)*a_(n-1)＝a_n、a_(n-1)*a_n＝a_1、a_n*a_1＝a_2を満たすn個の実数a_1,a_2,……,a_nを求めよ。（nartakio様）

n 個の実数の総乗を A とする。
n 個の等式を全て掛け合わせると、A^2 = A
よって A = 0, 1

A = 0 のとき
どこかに a_k=0 なる k が存在する。
このとき等式より a_(k+1)=0, a_(k+2)=0, ……, a_n=0, a_1=0, ……, a_(k-1)=0
すなわち全て 0 である

A = 1 のとき
どこにも a_k=0 なる k は存在しない。
よって b_k = log|a_k| とすることができる。
このとき b_k の総和は log|A|=0 に等しく、
b_1 + b_2 = b_3
b_2 + b_3 = b_4
（略）
b_n + b_1 = b_2

いまこの中で最大の数がどこかに存在する。
それが仮に b_3 であったとして考える。

すると b_2 = b_4 - b_3 ≦ 0 より
b_1 = b_3 - b_2 ≧ b_3 となる。
しかし b_3 は最大なのだから、b_1 = b_3, b_2 = 0
b_1 も最大なのだから同じ議論を繰り返して、
b_k は 0 とある非負値を交互に取ることがわかる。
しかし b_k の総和は 0 であるので、ある非負値とは 0 に他ならない。

この議論は最大値をどこにあるとしても同じ議論が適用できるので、
全ての k について b_k = 0
すなわち a_k = ±1 である。

a_1 と a_2 の符号を決めれば全数の符号が決まり、全て 1 であるものと、
n が 3 の倍数であるときに限り 3 項ごとに正の数があるもの 3 種ができる。

以上より、求める a_k の組は以下のとおり。

「任意の k について a_k = 0」
「任意の k について a_k = 1」
「k≡0 (mod3) ならば a_k = 1, それ以外は a_k = -1」（ n が 3 の倍数のときに限る）
「k≡1 (mod3) ならば a_k = 1, それ以外は a_k = -1」（ n が 3 の倍数のときに限る）
「k≡2 (mod3) ならば a_k = 1, それ以外は a_k = -1」（ n が 3 の倍数のときに限る）