放物線上を動く3点の作る三角形の面積の最大値

放物線y＝x^2上を3点A,B,Cが、次の条件
１）AC＝1
２）(Aのx座標)＜(Bのx座標)＜(Cのx座標)
を満たしながら動く。このとき、△ABCの面積の最大値を求めよ。（nartakio様）

A, B, C のx座標を順に a, b, c とする。
B が線分 AC から最も離れた時、つまり B での接線が AC と平行になる時が
ある AC に対しての面積の最大値である。

よって 2b = (c^2-a^2)/(c-a) より b = (a+c)/2

このとき △ABC の面積は 1/6{ (c-a)^3 - 2 {(c-a)/2}^3 } = 1/8 (c-a)^3
よって c-a が最大になったときにこれは最大となる。

いま AC = 1 より、この線分がx軸と並行になった時 c-a は最大値 1 をとる。

よって △ABC の面積は A(-1/2, 1/4), B(0, 0), C(1/2, 1/4) のとき最大値 1/8