正四面体の中に入る最大の立方体（未解決）

一辺が１の正四面体Ｔの内部で、一辺の長さがaである立方体を動かとき、aの最大値を求めよ。ただし表面も内部に含むものとする。（xzexiox様）

この問題の代わりに一辺 2 の立方体に外接する正四面体の一辺の長さの最小値を求める。

いま、xyz空間で以下のような4つの面を考える。
z+√2x = p, z-√2x = q, z+√2y = -r, z-√2y = -s
ただし、最初の 2 つの平面を立方体にz軸正方向から接するようにし、
あとの 2 つは平面を立方体にz軸負方向から接するようにする。

このとき 4 つの平面に囲まれる立体は、一辺の長さが (p+q+r+s)/√2 の正四面体で、
内部の立方体に対して外接している。
よって立方体を回転させた上で (p+q+r+s)/√2 の最小値を求めればよい。

立方体の 8 頂点を (X=±1, Y=±1, Z=±1) （複合任意）から
Z-X-Z オイラー角 φ, θ, ψ で回転させたものとして考える。

x = M_xx X + M_xy Y + M_xz Z
y = M_yx X + M_yy Y + M_yz Z
z = M_zx X + M_zy Y + M_zz Z

M_xx = cosφcosψ - sinφcosθsinψ
M_xy = -cosφsinψ - sinφcosθcosψ
M_xz = sinφsinθ

M_yx = sinφcosψ + cosφcosθsinψ
M_yy = -sinφsinψ + cosφcosθcosψ
M_yz = -cosφsinθ

M_zx = sinθsinψ
M_zy = sinθcosψ
M_zz = cosθ

と 8 つの頂点は書き表されることになる。

このとき
z+√2x = (M_zx+√2M_xx) X + (M_zy+√2M_zy) Y + (M_zz+√2M_zy) Z

X=±1, Y=±1, Z=±1（複合任意）であったことを思い出すと、
8 つの頂点のうち z+√2x の値が最大のものについてその値は
p = |M_zx+√2M_xx| + |M_zy+√2M_xy| + |M_zz+√2M_xz|

同様に
q = |M_zx-√2M_xx| + |M_zy-√2M_xy| + |M_zz-√2M_xz|
r = |M_zx+√2M_yx| + |M_zy+√2M_yy| + |M_zz+√2M_yz|
s = |M_zx-√2M_yx| + |M_zy-√2M_yy| + |M_zz-√2M_yz|

|a+b|+|a-b| = 2 max(|a|, |b|) を用いると、

(p+q+r+s)/2
　= max(|M_zx|, √2|M_xx|) + max(|M_zx|, √2|M_yx|)
　　+ max(|M_zy|, √2|M_xy|) + max(|M_zy|, √2|M_yy|)
　　+ max(|M_zz|, √2|M_xz|) + max(|M_zz|, √2|M_yz|)


いま、正四面体および立方体の対称性から、オイラー角は
0≦φ≦π/4、0≦θ≦π/2、0≦ψ＜π/2 だけ考えればよい。

すると、
(p+q+r+s)/2
　= max(sinθsinψ, √2|cosφcosψ-sinφcosθsinψ|)
　　+ max(sinθsinψ, √2(sinφcosψ+cosφcosθsinψ))
　　+ max(sinθcosψ, √2(cosφsinψ+sinφcosθcosψ))
　　+ max(sinθcosψ, √2|sinφsinψ-cosφcosθcosψ|)
　　+ max(cosθ, √2sinφsinθ)
　　+ max(cosθ, √2cosφsinθ)


（ここで放棄）

さてこれの最小値をどう求めるべきか。
おそらく立方体の一面が正四面体の一面にべったり内接する場合が答えになるのだろうが……。