丸、三角、四角、に見える立体の体積

x軸方向から見ると一辺の長さが1の正方形に、y軸方向から見ると底辺の長さが1でその辺に対する高さが1の二等辺三角形に、z軸方向から見ると直径1の円に見える立体を考える。このような立体のうち体積が最大のものの体積を求めよ。（nartakio様）

-1/2≦y≦1/2, 0≦z≦1
-1/2≦x≦1/2, 0≦z≦2x+1, 0≦z≦-2x+1,
x^2+y^2≦1/4
の共通部分の体積が求める値である。

他の式から自明に満たされるものを取り除くと、

0≦z≦-2|x|+1,x^2+y^2≦1/4

対称性から x≧0, y≧0 部分の体積を求めて 4 倍してやればよく、
円筒座標を用いて求める体積は

4∫[θ:0→π/2]∫[r:0→1/2] -2rcosθ+1 r dr dθ
　= ∫[θ:0→π/2] -1/3 cosθ + 1/2 dθ
　= π/4 - 1/3