4素数についての方程式

p^2-q＝2*qCr＝3(2r＋1)＋s^2 を満たす素数p,q,r,sの組を求めよ。（nartakio様）

素数は 2 以上であるため
3(2r＋1)＋s^2 ≧ 3×5+2^2 = 19
よって 2*qCr ≧ 19 から q＞r である。
したがって qCr = q!/{r!(q-r)!} の分母に q の倍数は存在せず、qCr は q の倍数。

p^2-q = 2*qCr より p^2 = 2*qCr + q の右辺は q の倍数なので p^2 も q の倍数
しかし p も q も素数であるため、p=q しかありえない。

p^2-q = 3(2r＋1)＋s^2 ≧ 19 より、p=q≧5 である。
よって、p=q≠3

いま、s が 3 でなかったとすると、
p^2 と s^2 を 3 で割った余りはどちらも 1 なので、
q は 3 の倍数、すなわち q=3 ということになるが、q≠3 は既に示されている。
よって s=3

このとき右辺は 3(2r＋1)＋3^2 = 6(r+2) となる。
つまり p(p-1) = 6(r+2)

6(r+2)≧ 6(2+2) = 24 より p≧7 なので、p は r+2 の約数である。
一方で p=q＞r であるので p=r+2
よって (r+2)(r+1) = 6(r+2) から r=5

このとき 2*qCr も同じ値になることが確かめられる。

よって、p=7, q=7, r=5, s=3