二重数列の漸化式

正の整数m,nについての関数f(m,n)を、
１）f(1,n)＝n
２）f(m＋1,n)＝Σ[k=1,n]f(m,k)
によって定める。このとき、f(m,n)をm,nで表せ。（nartakio様）

漸化式で n=1 とすると、f(m+1,1) = f(m,1) より
任意の m について f(m,1) = 1

また、
f(m+1,n+1) - f(m+1,n) = f(m,n+1) より
f(m+1,n+1) = f(m+1,n) + f(m,n+1)

これの両辺に (m+1)!n!/(m+n+1)! をかけて
g(m,n) = m!(n-1)!/(m+n-1)! f(m,n) とすると

g(m+1,n+1) = n/(m+n+1) g(m+1,n) + (m+1)/(m+n+1) g(m,n+1)

ここで、
g(m,1) = m!0!/m! f(m,1) = 1
g(1,n) = 1!(n-1)!/n! f(1,n) = 1
また、g(m+1,n) = g(m,n+1) = 1 のとき漸化式より g(m+1,n+1) = 1 なので
これは定数関数 1 である。

よって m!(n-1)!/(m+n-1)! f(m,n) = 1 を解いて f(m,n) = (m+n-1)! / {m!(n-1)!}