2010 を含む、フィボナッチ数列のような数列

2010を含む自然数列{a_n}はa_(n+2)=a_n+a_(n+1)を満たしている。a_3が最も小さくなるようにa_1,a_2を定めよ。（wand125様）

a_1 = p, a_2 = q とすると、a_3 = p+q, a_4 = p+2q, a_5 = 2p+3q, a_6 = 3p+5q,
以下、隣接するフィボナッチ数が係数となる一般項となる。

よって見方を変えて、隣接するフィボナッチ数に自然数の係数 p, q をかけて加えて
2010 をあらわすことを考えればよい。


いま、n を整数として 2010 を以下のように書く。
2010 = (768+n)×1 + (1242-n)×1

## φは黄金比 (1+√5)/2 として 2010/φ^2 ≒ 768 であるので。
## この 768 は計算上必要となる数字というわけではなく、
## あとで n=0 か ±1 あたりで議論ができるように小細工しただけ。

1242-n = (768+n) + (474-2n) なのでこれは以下に変形できる。
2010 = (474-2n)×1 + (768+n)×2

768+n = (474-2n) + (294+3n) なのでさらに以下に変形できる。
2010 = (294+3n)×2 + (474-2n)×3

以下同様に繰り返すと
2010 = (180-5n)×3 + (294+3n)×5
2010 = (114+8n)×5 + (180-5n)×8
2010 = (66-13n)×5 + (114+8n)×13
2010 = (48+21n)×13 + (66-13n)×21
2010 = (18-34n)×21 + (48+21n)×34
2010 = (30-55n)×34 + (18-34n)×55
2010 = (-12+89n)×55 + (30-55n)×89

よって両方の係数が正であってその和が最小になるのは
2010 = 30×34 + 18×55

従って求める値は p=30, q=18