4 つの整数と四則演算で 10 の倍数を作る

任意に選ばれた4つの整数を一度ずつ使い、四則演算子によって数式を作る。この時必ず10の倍数が作れることを示せ。（wand125様）

「4 つの数のうち 2 つを使って 5 の倍数を作ることができる」を示す。

まず、そもそも 5 の倍数が含まれている場合には、
それと別のどれかを互いにかけて 5 の倍数を得る。

5 の倍数が含まれていないが 4 つのうち 2 つが 5 で割った余りが等しいとき、
その 2 つの数を減算すれば 5 の倍数を得る。

5 の倍数が含まれておらず、かつどの 2 つも 5 で割った余りが異なるとき、
その余りは 1, 2, 3, 4 の 4 種類全てそろっている。
よって「余りが 1 と 4 のものを加える」が実行でき、5 の倍数を得る。


次に「余った 2 つで偶数を作ることができる」を示す。

少なくとも片方が偶数ならば互いにかけて偶数を得る。
どちらも奇数ならば互いに加えて偶数を得る。


したがって、まずどれか 2 つで 5 の倍数を作り、残った 2 つで偶数を作り、
それらを互いにかければ 10 の倍数を作ることができる。

よって、任意の 4 整数の四則演算で 10 の倍数を作ることができる。



おまけ：
実は 3 つだけでも大丈夫。

5 の倍数が含まれている場合、他に偶数があればすべてかけあわせれば 10 の倍数を得る。
5 の倍数と奇数 2 つの場合は、奇数 2 つを加えたものに 5 の倍数をかけて 10 の倍数を得る。

5 の倍数が含まれていないとき、
「一の位が 1, 4, 6, 9 のもの」または「一の位が 2, 3, 7, 8 のもの」の
どちらかは該当するものが 2 つ以上ある。
その 2 数の加減で 10 の倍数が作れた場合はそれに残りの数をかけて 10 の倍数を得る。
またその 2 数の加減で必ず 5 の倍数が作れるので、
残りの 1 つが偶数の場合はそれをかけてやはり 10 の倍数を得る。

これまでに述べたパターンに当てはまらない数の一の位の組み合わせは以下である。
(1or9,2or8,3or7), (1or9,3or7,4or6) 組み合わせ任意の 16 通り
これらはうまく 3 数を加減すれば必ず 10 の倍数となる。

よって任意の 3 整数の四則演算で 10 の倍数を作ることができる。