二次関数に関する文章の穴埋め

f(x)=□x^2-□x+□とすると、f'(x)=□□x-□、y=f(x)の頂点は(□/□,-□/□)で、x軸との交点はx=1/□,□、x軸によって囲まれる部分の面積は□/□□である。この関数を求めよ。（wand125様）

以下のように1桁ずつカタカナを割り振る。

f(x)=アx^2-イx+ウとすると、f'(x)=エオx-カ、y=f(x)の頂点は(キ/ク,-ケ/コ)で、x軸との交点はx=1/サ,シ、x軸によって囲まれる部分の面積はス/セソである。

x軸との交点が x = 1/サ, シ であることから、
y=f(x) とx軸によって囲まれる部分の面積は ア(シ-1/サ)^3/6
一方でこれは ス/セソ ＜ 1 なので、(シ-1/サ) ＜ 6^(1/3) ＜ 2である。
したがって シ = 1, 2

シ = 2 であるとき、シ-1/サ ≧ 3/2 より
1 ＞ ス/セソ = ア(シ-1/サ)^3/6 ≧ 9/16 ア
よって ア = 1
しかしこのとき f'(x) = (2×ア)x - イ で 2×ア = エオ ≧ 10 であることに反する。
したがって シ = 1 である。

よって f(x) = ウ(サx-1)(x-1) = ウ×サ x^2 - ウ(サ+1) x + ウ と書け、
ア = ウ×サ, イ = ウ(サ+1) である。

このとき ア(シ-1/サ)^3/6 = ウ×(サ-1)^3/(6×サ^2) = ス/セソ は分子が 1 桁で、
サ-1 と サ は共通因数を持たないため、サ-1 = 1, 2, 3, 6
つまり サ = 2, 3, 4, 7


サ = 2 のとき
f(x) = ウ(2x-1)(x-1) = ウ(2x^2-3x-1) で f'(x) = ウ(4x-3)
頂点は (3/4, -ウ/8)、y=f(x) とx軸によって囲まれる部分の面積は ウ/24
イ = 3×ウ が 1 桁、エオ = 4×ウ が 2 桁であることから ウ = 3 だが、
このとき ウ/24 = 1/8 の分母は 1 桁なので不適。

サ = 3 のとき
f(x) = ウ(3x-1)(x-1) = ウ(3x^2-4x-1) で f'(x) = ウ(6x-4)
頂点は (2/3, -ウ/3)、y=f(x) とx軸によって囲まれる部分の面積は 4×ウ/27
イ = 4×ウ が 1 桁、エオ = 6×ウ が 2 桁であることから ウ = 2

サ = 4 のとき
f(x) = ウ(4x-1)(x-1) = ウ(4x^2-5x-1) で f'(x) = ウ(8x-5)
頂点は (5/8, -9×ウ/16)、y=f(x) とx軸によって囲まれる部分の面積は 9×ウ/32
イ = 5×ウ が 1 桁、エオ = 8×ウ が 2 桁となる ウ は存在しない。

サ = 7 のとき
f(x) = ウ(7x-1)(x-1) = ウ(7x^2-8x-1) で f'(x) = ウ(14x-8)
頂点は (4/7, -9×ウ/7)、y=f(x) とx軸によって囲まれる部分の面積は 36×ウ/49
36×ウ/49 の分子は 1 桁とならないため不適


以上より f(x) = 6x^2-8x+4 であり、もとの文は以下である。

f(x)=6x^2-8x+2とすると、f'(x)=12x-8、y=f(x)の頂点は(2/3,-2/3)で、x軸との交点はx=1/3,1、x軸によって囲まれる部分の面積は8/27である。