z と 1/z の描く図形が交わる条件

aを複素数とする。複素数zが|z-a|＝1を満たしている。このとき、zが描く曲線と、1/zが描く曲線（あるいは直線）が共有点を持つようなaの取りうる領域の面積を求めよ。（amoO_O様）

|z-a| = 1 のとき (z-a)(z*-a*) = 1 だから、
z z* - a z* - a* z + ( a a* - 1 ) = 0

(i) |a|≠1 のとき

両辺 z z* ( a a* - 1 ) で割って
(1/z) (1/z)* - a/( a a* - 1 ) (1/z) - a*/( a a* - 1 ) (1/z)* + 1/( a a* - 1 ) = 0

よって
((1/z) - a*/( a a* - 1 ))((1/z)* - a/( a* a - 1 )) - a a*/( a* a - 1 )^2 + 1/( a a* - 1 ) = 0

つまり
|(1/z) - a*/(|a|^2-1)| = 1/(|a|^2-1)

よって、
z は中心 a 半径 1 の円を、
1/z は中心 a*/(|a|^2-1) 半径 1/(|a|^2-1) の円を描く。


したがって aの絶対値を r, 偏角をθとしたとき、
(1-1/(r^2-1))^2 ≦ r^2 + r^2/(r^2-1)^2 - 2r^2/(r^2-1) cos2θ ≦ (1+1/(r^2-1))^2 より
(r^2-2)^2 ≦ (r^2-1)^2 r^2 + r^2 - 2r^2(r^2-1) cos2θ ≦ r^4


まず (r^2-2)^2 ≦ (r^2-1)^2 r^2 + r^2 - 2r^2(r^2-1) cos2θ について
2r^2(r^2-1) cos2θ ≦ (r^2-1)^2 r^2 + r^2 - (r^2-2)^2 = (r^2-1) (r^4-2r^2+4)

相加相乗平均の関係より r^4-2r^2+4 ≧ 4r^2 -2r^2 = 2r^2 ≧ 2r^2 cos2θであるので、
これが満たされる条件は r^2-1 ＞ 0 すなわち r＞1
つまり 0 を中心として半径 1 の円の外側。


次に (r^2-1)^2 r^2 + r^2 - 2r^2(r^2-1) cos2θ ≦ r^4 について
r＞1 部分だけ考えると、r^2(r^2-1)＞0 であるので、
整理して -2cos2θ + r^2 - 2 ≦ 0
r^2 ≦ 4cos^2θ
r ≦ 2|cosθ|
r^2 ≦ 2|rcosθ|
rcosθ=x, rsinθ=y とおきかえて、
x^2 + y^2 ≦ 2|x|
(|x|-1)^2 + y^2 ≦ 1
つまり ±1 を中心として半径 1 の円の内側および辺上。


(ii) |a|=1 のとき

z z* - a z* - a* z = 0

両辺 - z z* で割って
a(1/z) + a*(1/z)* - 1 = 0
Re(a(1/z)) = 1/2

いま |a|=1 なので、これの偏角をθとすると、
これは直線 Re(z)=1/2 を -θ だけ回転したものである。
よって、0≦θ≦π/3, 2π/3≦θ≦4π/3, 5π/3≦θ＜2π

(i)(ii)をあわせると a の取りうる領域は
「1を中心として半径1の円の内部」または「-1を中心として半径1の円の内部」から
「0を中心として半径1の円の内部」を取り除いたものである。
ただし境界線上は全て領域に含む。


この部分の面積は円の 1/3 と正三角形 2 つをあわせた分に等しいので、
求める面積は π/3 + √3/2