正n角形を転がしたときに頂点の軌跡が囲む面積

単位円に内接する正n角形をxy平面上に、1頂点が原点にあり、1辺がx軸上正の部分にあり、全体がy≧0にあるように置く。この正n角形をx軸上正の方向に滑らずに転がす時、原点にあった頂点が再びx軸上に戻ってくるまでの軌跡とx軸が囲む領域の面積を求めよ。（amoO_O様）

原点にあった点を P, その他の点を回転中心になる順に A_1, A_2, ……, A_(n-1) とする。
この正n角形の辺の長さを a, 面積を S とする。

求める領域は、半径PA_k で中心角 π/n の扇型 n-1 個と、
△PA_1A_k (k≧2) なる n-2 個の三角形をくっつけた形である。


扇型の面積の合計を考える。
P から n-3 本の対角線を引き、正 n 角形を n-2 個の領域に分ける。
円周角の定理より、この対角線および辺の間の角はどこも π/n である。

各三角形に余弦定理を用いると
PA_k^2 + PA_(k+1)^2 = A_kA_(k+1)^2 + 2 PA_k PA_(k+1) cos(π/n)

これを n-2 式全て加えて PA_1^2 と PA_(n-1)^2 を加えると
2 ( PA_1^2 + PA_2^2 + …… + PA_(n-1)^2 )
　　= (PA_1^2 + A_1A_2^2 + A_2A_3^2 + …… + A_(n-1)P^2)
　　　　+ 2( PA_1 PA_2 + PA_2 PA_3 + …… + PA_(n-2) PA_(n-1) ) cos(π/n)

PA_1^2 + A_1A_2^2 + A_2A_3^2 + …… + A_(n-1)P^2 は全ての辺の平方和なので na^2

PA_1 PA_2 + PA_2 PA_3 + …… + PA_(n-2) PA_(n-1) について
これに 1/2 と sin(π/n) をかけると分割した n-2 個の領域の面積の合計すなわち S となる。
よって、PA_1 PA_2 + PA_2 PA_3 + …… + PA_(n-2) PA_(n-1) = 2S/sin(π/n)

したがって、
2 ( PA_1^2 + PA_2^2 + …… + PA_(n-1)^2 ) = na^2 + 4Scos(π/n)/sin(π/n)

いま、中心と各頂点を結んで n 個の二等辺三角形を考えると、
余弦定理より a^2 = 2-2cos(2π/n)、また S = n/2 sin(2π/n)

これらを代入して
2 ( PA_1^2 + PA_2^2 + …… + PA_(n-1)^2 )
　= n(2-2cos(2π/n)) + 2nsin(2π/n)cos(π/n)/sin(π/n)
　= 2n (1+ (sin(2π/n)cos(π/n)-cos(2π/n)sin(π/n))/sin(π/n) )
　= 4n

よって、扇型の面積の合計は
1/2 ( PA_1^2 + PA_2^2 + …… + PA_(n-1)^2 ) 2π/n = 2π

一方で n-2 個の三角形は並べ方を変えればこの正n角形そのものとなるので、
その面積の総和は S = n/2 sin(2π/n) である。


したがって求める面積は 2π + n/2 sin(2π/n)


おまけ：
n→∞ とするとこの面積は 3π。
これはサイクロイドの囲む面積。