三角形の五心 (傍心除く) の一致

１）△ABCの重心、外心、内心、垂心（以下「四心」）のうち、少なくとも２つが一致すれば△ABCは正三角形であることを示せ。
２）正三角形の四心は全て一致することを示せ。（mathmas0123様）

AB=c, BC=a, CA=b とする。
点 P の位置ベクトルを P↑ で表し、
α, β, γ は P↑= αA↑ + βB↑ + γC↑ (α^2+β^2+γ^2=1）と書いた係数である。
また、S を △ABC の面積とする。

重心 G について
G↑= 2/3 (B↑+C↑)/2 + 1/3 A↑ = 1/3 A↑ + 1/3 B↑ + 1/3 C↑
よって α:β:γ = 1:1:1

内心 I について、
α:β:γ = αS:βS:γS = △IBC:△ICA:△IAB = a:b:c = sinA:sinB:sinC

外心 O について
α:β:γ = αS:βS:γS = △OBC:△OCA:△OAB
　　 = sin∠BOC:sin∠COA:sin∠AOB = sin2A:sin2B:sin2C

垂心 H について
β:γ = βS:γS = △HCA:△HAB = CD:DB = cotC:cotB = tanB:tanC
α:β も同様に計算できるので、α:β:γ = tanA:tanB:tanC

１）
これらのうちいずれか 2 つの比が一致するのは、明らかに A=B=C のときしかありえない。
よって △ABC は正三角形

２）
△ABC が正三角形のとき、四心すべてについて α:β:γ = 1:1:1 であるから、
これらは全て同一の点となる。