積分関数に関する不等式の証明

f(x)は実数全域で狭義単調増加する連続関数であり，任意の整数nに対してf(n)＝nを満たす．f(x)の逆関数をg(x)とするとき，任意の実数xに対し2x-1＜∫[t=x,x+1]{f(t)+g(t)}dt＜2x+3を示せ．（nyoki1007様）

aをtの整数部分とすると、a ≦ ｔ ＜ a+1 。
f(x)は狭義単調増加するので f(a) ≦ f(t) ＜ f(a+1) 。
ここで a および a+1 は整数であるため a ≦ f(t) ＜ a+1 …… (1)

また、a ≦ ｔ ＜ a+1 より f(g(a)) ≦ f(g(t)) ＜ f(g(a+1)) において、
f(x)は狭義単調増加するので g(a) ≦ g(t) ＜ g(a+1) 。
ここで a および a+1 は整数であるため a ≦ g(t) ＜ a+1 …… (2)

(1)と(2)を加えると 2a ≦ f(t)+g(t) ＜ 2a+2
ここで a ≦ ｔ ＜ a+1 より t-1 ＜ a ≦ ｔ なので
2t-2 ＜ 2a ≦ f(t)+g(t) ＜ 2a+2 ≦ 2t+2 とすることができ、
余計な部分を省くと 2t-2 ＜ f(t)+g(t) ＜ 2t+2 となる。

これをそれぞれ x から x+1 まで積分すると、
2x-1 ＜ ∫[t=ｘ→x+1] {f(t)+g(t)} dt ＜ 2x+3