三角関数の有限級数の方程式

方程式sinx+sin2x+…+sin(nx)＝0[0＜x≦2π/n]を解け。（fujicategory様）

(i) n=1 の場合

解は x = π, 2π である

(ii) n≧2の場合

0＜x≦2π/n＜2π より exp(ix)≠1 である。
左辺を 2i 倍して考える。

2i ×Σ[k=1..n] sin(kx)
　= Σ[k=1..n] {exp(ikx)-exp(-ikx)}
　= exp(ix)×{exp(inx)-1}/{exp(ix)-1} - exp(-ix)×{exp(-inx)-1}/{exp(-ix)-1}
　= exp(ix)×{exp(inx)-1}/{exp(ix)-1} - exp(-inx)×{exp(inx)-1}/{exp(ix)-1}
　= {exp(ix)-exp(-inx)}×{exp(inx)-1}/{exp(ix)-1} = 0

よって exp(ix) - exp(-inx) = 0 または exp(inx) - 1 = 0 である。
すなわち、(n+1)x と nx のいずれかが 2π の整数倍であればよく、

x = 2π/n, 2π/(n+1)

これは (i) の n=1 の場合も含めた表現になっている。


おまけ：
回転行列をAとして、A + A^2 + …… + A^n = {A^(n+1)-E} {A-E}^(-1) を計算し、
右辺の非対角成分が0になる条件から解くと結局似たような計算になるはず。
こっちはおそらく高校生でもできる。