二項係数を含む級数の計算

Σ[k＝1,40](40_C_k)・k^4の値を素因数分解せよ。（cruz__F様）

二項定理を用いると
(1+x)^n = Σ [k=0..n] (n_C_k) x^k

これを「両辺 x で微分してから両辺に x をかける」を4回繰り返す。

(i) 右辺
x d/dx x d/dx x d/dx x d/dx Σ [k=0..n] (n_C_k) x^k
　= x d/dx x d/dx x d/dx Σ [k=0..n] k (n_C_k) x^k
　= x d/dx x d/dx Σ [k=0..n] k^2 (n_C_k) x^k
　= x d/dx Σ [k=0..n] k^3 (n_C_k) x^k
　= Σ [k=0..n] k^4 (n_C_k) x^k

(ii) 左辺
x d/dx x d/dx x d/dx x d/dx (1+x)^n
　= nx d/dx x d/dx x d/dx x (1+x)^(n-1)
　= nx d/dx x d/dx x { (1+x)^(n-1) + (n-1)x(1+x)^(n-2) }
　= nx d/dx x d/dx x { (1+x) + (n-1)x } (1+x)^(n-2)
　= nx d/dx x d/dx (x+nx^2) (1+x)^(n-2)
　= nx d/dx x { (1+2nx) (1+x)^(n-2) + (n-2) (x+nx^2) (1+x)^(n-3) }
　= nx d/dx x { (1+2nx) (1+x) + (n-2) (x+nx^2) } (1+x)^(n-3)
　= nx d/dx { x + (3n-1)x^2 + n^2 x^3 } (1+x)^(n-3)
　= nx {{ 1 + 2(3n-1)x + 3n^2 x^2 } (1+x)^(n-3) + (n-3) { x + (3n-1)x^2 + n^2 x^3 } (1+x)^(n-4) }
　= nx {{ 1 + 2(3n-1)x + 3n^2 x^2 } (1+x) + (n-3) { x + (3n-1)x^2 + n^2 x^3 } } (1+x)^(n-4)

この(i)(ii)それぞれの結果に x=1 を代入すると
Σ [k=0..n] k^4 (n_C_k)
　= 2^(n-4) n { 2{ 1 + 2(3n-1) + 3n^2 } + (n-3) { 1 + (3n-1) + n^2 } }
　= 2^(n-4) n { 2 + 12n - 4 + 6n^2 + (n-3) (3n+n^2) }
　= 2^(n-4) n ( -2 + 3n + 6n^2 + n^3 )
　= 2^(n-4) n(n+1)(n^2+5n-2)

さらに n=40 を代入して、k=0 の時 k^4 (40_C_k) = 0 であることに気をつけると、
Σ [k=1..40] k^4 (40_C_k)
　= 2^36×40×41×1798
　= 2^36×(2^3×5)×41×{2×(900-1)}
　= 2^40×5×41×(30+1)(30-1)
　= 2^40×5×29×31×41