自然数を連続整数の和で表す方法の数

自然数nをk[k≧1]個の連続した整数の和で表す場合の数をC(n)とする。
１）C(60)、C(777)を求めよ。
２）C(2^p・3^q・5^r)を求めよ。また、C(2n)=C(n)を示せ。（meta_BE様）

１）
aから順にk個の数をとって加えた合計は S = k (2a+k-1) / 2 である。
ここで k が偶数の時 (2a+k-1) は奇数、k が奇数の時 (2a+k-1) は偶数である。

(i) S=60 の場合
k (2a+k-1) = 120 = 2^3×3×5 である。
これを少なくともどちらかが正であるように偶数×奇数の積で表現する方法は、
120 の最大の奇約数 15 の約数の数と同じ数だけ存在する。
このとき k を積のどちらにとっても対応する a の値が1つ定まる。

（例：120=24×5 として k=24 とした場合、2a+24-1=5 から a=-9 。
　　　これは -9 から 14 までの 24 個の数の和として 60 を表現することに対応する）

15の約数は4個あるので、C(60) = 4×2 = 8


(ii) S=777 の場合
k (2a+k-1) = 1554 = 2×3×7×37 である。
同様に考えて、777の約数は8個あるので C(777) = 8×2 =16


２）
これも同じように考えて、2^(p+1)×3^q×5^r の奇約数は (q+1)(r+1) 個あるので、
C(2^p・3^q・5^r) = (q+1)(r+1) である。

また、n と 2n の奇約数の数は明らかに等しいので C(2n) = C(n) である。