三角形領域内での最短経路数問題（カタラン数）

xy平面上の点Aがx軸方向に＋1かy軸方向に＋1ずつしか移動できないとする。点Aが原点から移動を始め、点B(10,10)までy≧x＋2の領域を1度も通らずに到達する方法は何通りか。（nyoki1007様）

y≧x+2 の領域を通ってもよいとすると経路数は 20_C_10 = 184756 通り

このうち y≧x+2 の領域を通るものは、初めて y=x+2 上に到達するまでの経路を
y=x+2 に対して対称移動すると、点 C (-2,2) から点 B までの最短経路と 1 対 1 に対応する。
よってそのような経路は 20_C_8 = 125970 通り

したがって求める経路数は、184756 - 125970 = 58786 通り


おまけ：
(-1, 0) から (10, 11) と考えると三角形領域内での問題となり、
カタラン数 C_n を用いて経路数は表現できる。
C_11 = 22_C_10/10 = 58786 である。