四角形の2組の対辺比が双子素数になるときの対角線比

差が2の2つの素数の組を双子素数という．円に内接する四角形ABCDにおいて，CD/ABとDA/BCが双子素数であるならば，BD/ACは自然数であることを示せ．（nyoki1007様）

DA/BC の方が大きい素数であるとして一般性を失わない。

AB = a, BC = b, CD = ap, DA = b(p+2) とする。
ただし p および p+2 はともに素数である。


△ABD と △CBD で余弦定理より、
BD^2 = a^2 + {b(p+2)}^2 - 2ab(p+2) cos∠BAD
BD^2 = (ap)^2 + b^2 - 2abp cos∠BCD

cos∠BAD + cos∠BCD = 0 なので、上に p をかけて下に p+2 をかけて加えると
(2p+2) BD^2 = a^2 p + b^2 p (p+2)^2 + a^2 p^2 (p+2) + b^2 (p+2)
2(p+1) BD^2 = a^2 p (p+1)^2 + b^2 (p+1)^2 (p+2)
2 BD^2 = a^2 p(p+1) + b^2 (p+1)(p+2)


△ABC と △ADC で余弦定理より、
AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos∠ABC
AC^2 = (ap)^2 + {b(p+2)}^2 - 2abp(p+2) cos∠ADC

cos∠ABC + cos∠ADC = 0 なので、上に p(p+2) をかけて下と加えると
(p(p+2)+1) AC^2 = a^2 p(p+2) + b^2 p(p+2) + (ap)^2 + {b(p+2)}^2
(p+1)^2 AC^2 = 2a^2 p(p+1) + 2b^2 (p+1)(p+2)


したがって、
4 BD^2 = (p+1)^2 AC^2
BD/AC = (p+1)/2
p および p+2 はともに素数であるので、p は奇数である。
ゆえに BD/AC = (p+1)/2 は自然数である。


感想：
双子素数とあったので予想外の使い方を期待したのですが、ただの差が2の奇数であることしか使わなくてちょっとがっかり。