赤青のカード2012枚を条件通りに並べる方法

赤と青のカード合わせて2012枚を2×1006の配置に並べる。この時次のルール(i)(ii)(iii)に従った並べ方は何通りか。
(i)赤も青も必ず1枚は使用する。
(ii)赤の左もしくは下に青は置かない。
(iii)青の上もしくは右に赤は置かない。（nyoki1007様）

0≦m≦n≦1006 かつ 1≦n かつ m≦1005 として、
上段に左から m 枚、下段に左から n 枚赤を並べて、残りに青を並べればよい。
そのような 2 つの非負整数の選び方は、
異なる 2 数の選び方が 1007_C_2 = 506521 通り
同じ 2 数の選び方が 1005 通り
よって、あわせて 507526 通り


疑問：
(ii)と(iii)は対偶なので同値だが、両方条件付けする意味は一体……？