放物線の各種性質の証明

放物線に2本の接線を引き、それらが直交するとき、交点は準線上にあり、交点と２接点の中点を通る直線は準線に直交することを示せ。
２）放物線の焦点から出た光が放物線で反射するとき、反射光はすべて同一方向に向かうことを示せ。（nyoki1007様）

１）
放物線の焦点を (0, p), 準線を y=-p とする。ただし p＞0。
この放物線の方程式は y = 1/4p x^2

片方の接線の接点を (2pt, pt^2) とすると、
これと直交する接線の接点は (-2p/t, p/t^2)

よって 2 接線は y=tx-pt^2, y=-x/t-p/t^2 となる。
これらの交点は (p(t^2-1)/t, -p) であるので t の値に関わらず準線上にある。

また 2 接点の中点は (p(t^2-1)/t, p(t^4+1)/2t^2) なので、
交点と２接点の中点を通る直線は x = p(t^2-1)/t であり、
t の値に関わらず準線 y=-p に直交する。


２）
屈折率が座標によらない場合、光は最短経路を進む。

放物線上の点と焦点との距離はその点から準線に降ろした垂線の長さに等しい。
よって、ある放物線内部の点から放物線上で反射して焦点までの距離は、
その点から放物線上の点を通りそこから準線まで垂直に進んだ距離に等しい。
よってその最短経路は準線に垂直な 1 つの線分になったときである。

つまり、放物線の焦点から出た光が放物線で反射すると、
反射位置に関わらず準線に垂直な方向に向かう。