△APQ の周長の最小値の最大条件

座標平面上に定点A(a,a)(0<a<1)をとる。点Pは直線y=ax上を、点Qはy=x/a上を、3点A,P,Qが一直線に並ばないように動く。△APQの周の長さの最小値を最大にするaの値を求めよ。（_Circum様）

点 A を直線 y=ax について対称移動した点を B、
点 A を直線 y=x/a について対称移動した点を C とする。

AP + PQ + QA = BP + PQ + QC は明らかに
4点 B, P, Q, C が一直線に並ぶように P, Q を選んだ時に最小となり、
その値は 線分 BC の長さに等しい。

いま、a=tanθ (0＜θ＜π/4）とおく。
OA = √2tanθ より、OB = OC = √2tanθ
また、∠AOC = 2∠AOP = (π/2-2θ) なので
sin∠AOC = cos(2θ) = (1-tan^2θ)/(1+tan^2θ) = (1-a^2)/(1+a^2)

BC = √2a×(1-a^2)/(1+a^2)×2 = 2√2 a(1-a^2)/(1+a^2)
d(BC)/da = 2√2 (a^4+4a^2-1)/(1+a^2)^2

よって BC は a^2 = √5-2 の時に最大値をとり、そのとき
BC^2 = 8a^2(1-a^2)^2/(1+a^2)^2
　　　　= 8(√5-2)(3-√5)^2/(√5-1)^2
　　　　= 20√5-44

したがって、a = √(√5-2) のとき、
△APQの周の長さの最小値は最大値 2√(5√5-11) をとる。