7回連続で表が出るまでにコインを投げる回数の期待値

表が7回連続で出るまでコインを投げ続けるゲームをする。7回連続で出た時点でゲームをやめる。この時ゲームを終えるまでにコインを投げる回数の期待値は幾らか。なおコインを投げた時表と裏が出る確率は、それぞれ同じで1/2であるとする。（busgasexplosion様）

一般に「表が k(≧1) 回出るまで～～」を求める。

n (≧0) 回目でまだゲームが終われない確率を p_n とする。
すると、n+1 回目の試行が存在してかつそこで裏が出る確率は 1/2 p_n である。

n+k+1 回目にゲームが終わるためには、
n+1 回目が存在して裏が出て、そこから k 回連続で表が出ればよい。
よってそれが起こる確率は (1/2)^(k+1) p_n である。
したがって、p_(n+k) - p_(n+k+1) = (1/2)^(k+1) p_n

ここで、p_n → 0 (n→∞) を証明する。
条件より明らかに p_n ≧ p_(n+k+1) なので
p_(n+k) = p_(n+k+1) + (1/2)^(k+1) p_n ≧ (2^(k+1)+1)/2^(k+1) p_(n+k+1)
すなわち 0 ≦ p_(n+k+1) ≦ 2^(k+1)/(2^(k+1)+1) p_(n+k) であるから p_n → 0 (n→∞)

p_n = 2^(k+1) ( p_(n+k) - p_(n+k+1) ) を n=0..∞ で全て加えるとき、
p_n → 0 なので右辺の級数は 2^(k+1) p_k に収束する。
よって Σ[n=0..∞] p_n = 2^(k+1) p_k
p_k = 1-(1/2)^k なので Σ[n=0..∞] p_n = 2^(k+1) - 2

いま、投げる回数の期待値は n+1 (≧1) 回目を投げる確率の、
すなわち n (≧0) 回目で終われない確率の総和を取ればよく、
それは今計算した級数の値に他ならない。

したがって、求める期待値は 2^(k+1) - 2 回。
k=7 の場合は 254 回となる。