r=logθ が囲む部分の面積

極方程式r=logθ[0＜θ≦2π]のグラフの概形を書け。また、この曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ。（blackVELU様）

グラフは略。
x 軸を漸近線として -x 方向無限遠から来て第三象限を通り、
θ= 1+π の方向から原点に進入し、θ=1 方向へ抜けて第一象限へ、
螺旋のような曲線を描きながら y軸正部分、x軸負部分と順に交わり、
第三象限で一度自身と交わって、x 軸負部分と交わり、
(log(2π), 0) で終端するような曲線である。

自身との交点は、
logθ= -log(θ-π）（ただしπ＜θ＜2π）
logθ(θ-π) = 0 より θ(θ-π) =1
よって θ= (π+√(4+π^2)) / 2
この値を θ_0 とする


求める面積は
∫[θ:θ_0-π→θ_0]∫[r:0→logθ] rdrdθ
　= 1/2 ∫[θ:θ_0-π→θ_0] (logθ)^2 dθ
　= 1/2 [θ(logθ)^2] [θ:θ_0-π→θ_0] -∫[θ:θ_0-π→θ_0] logθ dθ
　= 1/2 π(logθ_0)^2 - [θlogθ] [θ:θ_0-π→θ_0] +∫[θ:θ_0-π→θ_0] dθ
　= 1/2 π(logθ_0)^2 - (2θ_0-π)logθ_0 + π
ただし θ_0 = (π+√(4+π^2))/2