0.2 と tan(π/16) の比較

次の2数の大小を比較せよ。0.2,tan(π/16)（esprit67様）

tanx = 0.2 となるような 0＜x＜π/2 を用意する。
tan(2x) = 0.4 / (1-0.04) = 5/12
tan(4x) = (5/6) / (1-25/144) = 120/119 ＞ 1 = tan(π/4)

いま、tanx＞0, tan(2x)＞0, tan(4x)＞0 であったから 0＜4x＜π/2
この範囲において tan(4x) は増加関数なので、
tan(4x)＞tan(π/4) ⇔ 4x＞π/4 ⇔ x＞π/16 ⇔ tanx＞tan(π/16)

よって 0.2 ＞ tan(π/16)


[別解]
0＜x＜π/2 のとき
tan(2x) = 2tanx / (1-tan^2x) より tan^2x + 2cot(2x) tanx - 1 = 0
よって tan x = - cot(2x) + √( 1+cot^2(2x) )

cot(π/4) = 1 であるので
tan(π/8) = - 1 + √(1+1^2) = √2 - 1
よって cot(π/8) = √2 + 1

tan(π/16) = - ( √2 + 1 ) + √(1+(√2+1)^2)
　　　　　　 = - 1 - √2 + √(4+2√2)

1.414 ＜ √2 ＜1.415 より
6.828 ＜ 4+2√2 ＜6.83 で、2.613^2 = 6.827799, 2.614^2= 6.832996 より
2.613 ＜ √(4+2√2) ＜2.614

これを -1.415 ＜ -√2 ＜ -1.414 と辺々加えて 1 を引くと、
0.198 ＜ tan(π/16) ＜ 0.2

よって 0.2 ＞ tan(π/16)