50人クラスでの誕生日問題（最後に機械計算を使用）

1年を365日として、50人クラスについてそれぞれの確率を求めよ。
１）2人以上の誕生日が重なる確率
２）2人の誕生日が同じ組がk組いる確率[１≦k≦25,kは自然数]
３）3人以上の誕生日が一致する確率（ezo_deer様）

（注：2番で3人以上一致した場合の取り扱いがありませんが、ここでは「2人の誕生日が同じ組がk組で、3人以上一致する組はいない」と読んでいます。）

1)
どの 2 人も誕生日が異なる確率は 365_P_50 / 365^50 = 365! / 315! 365^50
求める確率はこれの余事象であるので、求める確率は

1 - ( 365! / 315! 365^50 ) ≒ 0.9704


2)
2k 人は k 種類の誕生日 2 人ずつ、残り 50-2k 人は残り 365-k 日で全てバラバラの誕生日なので、
そのような誕生日の発生パターンの数は
365_C_k × 50_C_2 × 48_C_2 × …… × (52-2k)_C_2 × (365-k)_P_(50-2k)
　= 365_C_k × 50! / 2^k (50-2k)! × (365-k)! / (315+k)!
　= 365_C_k (365-k)_C_(315+k) (1/2)^k 50!

よって求める確率は
365_C_k (365-k)_C_(315+k) (1/2)^k 50! / 365^50


3)
k=0 とした時がどの 2 人も誕生日が異なる確率に一致するので、
どの3人も誕生日が一致しない確率は

Σ[k=0..25] 365_C_k (365-k)_C_(50-2k) (1/2)^k 50! / 365^50

これを計算すると 0.8736 くらいなので、
求める確率は 1 から引いて 0.1264 くらいである。

（具体的に計算できるのかは謎）