確率で増減するお金がなくなる日数の期待値

A君は1円持っている。1日経つとx％の確率で所持金を1円失い、(100-x)％の確率で所持金が倍になる。A君の所持金が0円になるまでの日数の期待値が有限であるとき、xのとりうる値を求めよ。（alan_i_jp様）

x/100 = p とする。
p=1のときは1日で確実に所持金0円になるので条件を満たす。
p=0のときは絶対に所持金0円にならないので条件を満たさない。

以下、0＜p＜1のときに所持金が0円になるまでの日数の期待値が有限にならないことを示す。

m を1以上の整数とし、ある日に所持金が 2m 円以上あったとする。
このm日後に所持金が 2(m+1) 円以上になる確率を考えよう。
m 日以内に一度でも所持金が倍増する現象が起こればその時には m+1 円以上増え、
1円失う現象は m-1 回以下なので、m 日後には2(m+1) 円以上となる。
m 日全て1円失う確率は p^m なので、m 日後に所持金が 2(m+1) 円以上になる確率は 1-p^m 以上。

1日後に所持金2円以上になっている確率は 1-p だから、
2日後に所持金4円以上になっている確率は (1-p)(1-p) 以上、
4日後に所持金6円以上になっている確率は (1-p)(1-p)(1-p^2) 以上、
7日後に所持金8円以上になっている確率は (1-p)(1-p)(1-p^2)(1-p^3) 以上、
以下、(m^2-m+2)/2 日後に 2m 円以上になっている確率は (1-p)(1-p)(1-p^2)(1-p^3)...(1-p^(m-1)) 以上。

よって、無限乗積 P を P=(1-p)(1-p^2)(1-p^3)...(1-p^(m-1))... と定義するとき、
(1-p)P 以上の確率でいつまでたっても所持金が0円にならない。
したがって、P が0に収束しなければ、所持金が0円になるまでの日数の期待値は有限にならない。

-logP
= -log (1-p)(1-p^2)(1-p^3)...
= log 1/(1-p) + log 1/(1-p^2) + log 1/(1-p^3) + ...
= ( p + p^2/2 + p^3/3 + p^4/4 + ... ) + ( p^2 + p^4/2 + p^6/3 + p^8/4 + ... )
　　　+ ( p^3 + p^6/2 + p^9/3 + p^12/4 + ... ) + ( p^4 + p^8/2 + p^12/3 + p^16/4 + ... ) + ...
= ( p + p^2 + p^3 + p^4 + ... ) + ( p^2 + p^4 + p^6 + p^8 + ... )/2
　　　+ ( p^3 + p^6 + p^9 + p^12 + ... )/3 + ( p^4 + p^8 + p^12 + p^16 + ... )/4 + ...
= p / (1-p) + p^2 / 2(1-p^2) + p^3 / 3(1-p^3) + p^4 / 4(1-p^4) + ...

ここで、
1-p^k = (1-p)(1+p+p^2+...+p^(k-1)) ＞ (1-p)(p^(k-1)+p^(k-1)+p^(k-1)+...+p^(k-1)) = k(1-p)p^(k-1) ＞ 0 より、

-logP
＜ p / 1(1-p)p^0 + p^2 / 4(1-p)p^1 + p^3 / 9(1-p)p^2 + p^4 / 16(1-p)p^3 + ...
= p/(1-p) (1+1/4+1/9+1/16+...)
= pπ^2 / 6(1-p)

よって logP ＞ -pπ^2 / 6(1-p) より P> e^{-pπ^2 / 6(1-p) } >0

すなわち、(1-p) e^{-pπ^2 / 6(1-p) } 以上の確率で無限にゲームが続くので、
0＜p＜1のときには所持金が0円になるまでの日数の期待値が有限にならない。

以上より、条件を満たす p の値は1のみ、すなわち x の取りうる値は 100 のみ。