e^π と π^e の大小比較

p,qはp＞q＞0を満たす実数とする。f(x)＝pe^(qx),g(x)＝qe^(px)と関数を定義し、f(x)-g(x)＝0の解をrとする。このとき
１）p,q,rの関係式を求めよ。
２)１）を用いてe^πとπ^eの大小を比較せよ。（tutaehp様）

１）
pe^(qr) - qe^(pr) = 0
　⇔ pe^(qr) = qe^(pr)
　⇔ e^{(p-q)r} = p/q
　⇔ (p-q)r = logp - logq
　⇔ r = (logp - logq) / (p-q)

２）
平均値の定理より、
(logp - logq) / (p-q) = 1/c なる c が p＞c＞q に存在する。
ところでいま左辺は r に等しいので rc=1、よって pr＞1＞qr

p＞q なので右側の不等号より qlogp-qlogq ＜ p-q
e を底とする指数をとって
(p/q)^q ＜ e^(p-q)
q^q ＞ 0 なので整理すると p^q ＜ (q/e)^q e^p

ここで π＞3＞e より、p=π, q=e のときにもこの議論は成り立ち、
このとき q/e は 1 であるから π^e ＜ e^π