第1項以降に登場する数が2種類である数列の第0項

Kを正の実数の定数とする。数列{a_n}を、a_0＝K，a_(n＋1)＝(a_n)^3-3a_n（n＝0,1,2,3…）によって定める。このとき、集合{a_n|n∈Ν}が、ただ2つの要素からなるときのKの値をすべて求めよ。（tutaehp様） #数学

## N は自然数集合なので、よーく見ると a_0=K は集合に含まれていないことに注意

数列 {a_n} は二項間漸化式で定められているので、 a_1 ≠ a_2 かつ、a_3 がそのどちらかに一致することが必要十分。

K = 2cos(x/3) とおく。
K≦2 の場合は 0≦x＜3/2π とする。
K＞2 の場合は x=iy (y＞0) を純虚数と考え、cos(iz)=cosh(z) を用いる。

a_1 = (2cos(x/3))^3 - 3(2cos(x/3)) = 2 (4cos^3(x/3) - 3cos(x/3)) = 2cosx
a_2 = 2 cos3x
a_3 = 2 cos9x

よって、cosx≠cos3x かつ、cos9x が cosx と cos3x のいずれかに一致すればよい。

(i) K＞2のとき
x=iy (y＞0) を純虚数とする。
すると 9y が ±y, ±3y のいずれかに一致する必要があるが、
y＞0 の範囲にそのような数は存在しない。
よってこの範囲に条件を満たす値は存在しない。

(ii) K≦2のとき
cosx = cos3x を解くと cos^3x - cosx = 0 から cosx = 0, ±1
すなわち x = 0, π/2, π
このとき集合 {a_n|n∈Ν} の要素は 1 つだけとなるので、
以下で求めた値の中から除外されるべきである。

cos9x = cosx のとき
a を整数として、
9x = ±x + 2aπ
よって x = (a/4)π または (a/5)π

cos9x = cos3x のとき
a を整数として、
9x = ±3x + 2aπ
よって x = (a/3)π または (a/6)π
前者は後者に含まれる。

したがって条件を満たすような 0≦x＜3/2π の値は
x = π/6, π/5, π/4, π/3, 2π/5, 3π/5, 2π/3, 3π/4, 4π/5, 5π/6, 7π/6, 6π/5, 5π/4, 4π/3, 7π/5


よって求める K=2cos(x/3) の値は小さい方から順に
2cos(7π/15) = {-1-√5+√(30-6√5)}/4
2cos(4π/9)
2cos(5π/12) = (√6-√2)/2
2cos(2π/5) = (√5-1)/2
2cos(7π/18)
2cos(5π/18)
2cos(4π/15) = {1-√5+√(30+6√5)}/4
2cos(π/4) = √2
2cos(2π/9)
2cos(π/5) = (√5+1)/2
2cos(2π/15) = {1+√5+√(30-6√5)}/4
2cos(π/9)
2cos(π/12) = (√6+√2)/2
2cos(π/15) = {-1+√5+√(30+6√5)}/4
2cos(π/18)
の 15 個