双曲線上の格子点を順に結んでできる多角形の面積

x座標、y座標が共に自然数となる点を正格子点と呼ぶことにする。相異なる2つの素数p,qに対し、C：y＝pq/xと定め、C上の全ての正格子点がなす多角形Mの面積が144のとき、Cの方程式を求めよ。ただしMの全ての内角は180°未満である。（tak0211_Ifuku様）

p＞q として一般性を失わない。

明らかに M は (1,pq), (pq,1), (p,q), (q,p) を頂点とする等脚台形である。
(p,q), (q,p) を結んだ辺を上底とすると、
上底の長さ = √2(p-q)
下底の長さ = √2(pq-1)
高さは y=-x+(p+q) と y=-x+(pq+1) との距離なので (pq-p-q+1)/√2

よって M の面積は (pq+p-q-1)(pq-p-q+1)/2 = (p-1)^2(q+1)(q-1)/2
これが 144 であるので、(p-1)^2(q^2-1) = 288
つまり、288 を (平方数)×(平方数-1) という形に書ければよい。

288 の約数のうち平方数であるものは 12 の約数の平方数 6 つなので実際に割ると
288 = 1 × 288
288 = 4 × 72
288 = 9 × 32
288 = 16 × 18
288 = 36 × 8
288 = 144 × 2
このうち右側の数に 1 を加えて平方数になるのは 1 × 288 と 36 × 8 である。
よって (p-1,q) = (1,17), (6,3)
すなわち (p,q) = (2,17), (7,3)

いま、p, q は素数で p＞q であったから、
条件を満たす値は (p,q) = (7,3) のほうに限られる。

よって求める C の方程式は y=21/x