正七角形のある頂点から他の頂点への距離の平方和

半径1の円に内接する正7角形ABCDEFGにおいて、AB^2+AC^2+AD^2の値を求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。（meta_BE様）

A を通る対角線で 5 つの三角形に分割して余弦定理を用いると
AB^2 + AC^2 = BC^2 + 2 AB AC cos(π/7)
AC^2 + AD^2 = CD^2 + 2 AC AD cos(π/7)
AD^2 + AE^2 = DE^2 + 2 AD AE cos(π/7)
AE^2 + AF^2 = EF^2 + 2 AE AF cos(π/7)
AF^2 + AG^2 = FG^2 + 2 AF AG cos(π/7)
これらを全て加えて AB^2 と AG^2 を両辺に加えると

2(AB^2 + AC^2 + AD^2 + AE^2 + AF^2 + AG^2)
　= (AB^2 + BC^2 + CD^2 + DE^2 + EF^2 + FG^2 + GA^2)
　　　+ 2 (AB AC + AC AD + AD AE + AE AF + AF AG) cos(π/7)

ここで、1/2 (AB AC + AC AD + AD AE + AE AF + AF AG) sin(π/7) は正七角形の面積で、
それは中心と頂点を結んで 7 つの二等辺三角形にすることで
7× 1/2 sin(2π/7) とも書くこともできる。
よって AB AC + AC AD + AD AE + AE AF + AF AG = 7sin(2π/7)/sin(π/7)

また、正七角形の1辺の長さの平方は余弦定理より 2-2cos(2π/7)

よって
2(AB^2 + AC^2 + AD^2 + AE^2 + AF^2 + AG^2)
　= 7×{2-2cos(2π/7)} + 14sin(2π/7)cos(π/7)/sin(π/7)
　= 14 + 14{sin(2π/7)cos(π/7)-cos(2π/7)sin(π/7)}/sin(π/7)
　= 14 + 14 = 28

図形の対称性から AB=AG, AC=AF, AD=AE であることを考えると、
AB^2 + AC^2 + AD^2 = 7