クジで95%以上損しない試行回数（要改善）

1円支払うと1回引けるクジがあり、1/6の確率で当たると7円貰えるが外れると何も貰えない。このクジを複数回連続で引く時、最終的な収支が±0円以上である確率が95%を超えるのは、クジを何回引く時か。（lemp3様）

n (≧1) 回引いて収支が負になるためには、当たりが N = [(n-1)/7] 回以下であればよい。

よってその確率は
Σ [k=0..N] n!/(k!(n-k)!) (1/6)^k (5/6)^(n-k)
これが 0.05 以下であればよい。

いま、n!/(k!(n-k)!) (1/6)^k (5/6)^(n-k) について、
この級数の大部分の値は k≒N 周辺からくるものである。
k の値を 1 増加させるとこの数値は (n-k)/5k 倍になるので、
k≒N においてこの級数はだいたい公比 6/5 の等比数列となっている。

したがって、この級数の値は
n が 7 の倍数より 1 大きいときおよそ k=N のときの値の 6 倍
n が 7 の倍数のときおよそ k=N のときの値の 5 倍となっている。

ゆえにこの収支が負になる確率は
1/120 ＜ n!/((n/7)!(6n/7)!) (1/6)^(n/7) (5/6)^(6n/7) ＜ 1/100
程度の時に 5% の前後で上がったり下がったりすることになる。

n, n/7, 6n/7 が十分大きいとしてスターリングの公式 n! ≒ √(2πn) n^n/e^n を用いると
(n/7)! ≒ √(2πn/7) (n/7)^(n/7)/e^(n/7)
(6n/7)! ≒ √(12πn/7) (6n/7)^(6n/7)/e^(6n/7)
をかけあわせて
(n/7)!(6n/7)! ≒ 2πn√6/7 6^(6n/7) (n/7e)^n

よって
n!/((n/7)!(6n/7)!) (1/6)^(n/7) (5/6)^(6n/7)
　≒ √(2πn) n^n/e^n 5^(6n/7) / {2πn√6/7 6^(6n/7) (n/7e)^n 6^n}
　= 7/(2√(3πn)) (5/6)^(6n/7) (7/6)^n

常用対数をとると
-log120 ＜ log(7/(2√(3π))) - 1/2 logn + nlog((5/6)^(6/7) 7/6) ＜ -log100
-2.07918 ＜ 0.05693 - 1/2 logn - 0.000922850n ＜ -2

これを満たす n はおよそ 690≦n≦755

したがって、クジを引く回数 n に対し収支が ±0 円以上である確率が
95% を超えるかどうかは以下のように推測される。

n=0 のとき、100% なので 95% を超えている
1≦n＜690 程度のとき、95% 未満
690≦n≦755 程度のとき、7で割った余りにより 95% を超えたり超えなかったり
755＜n 程度のとき、95% を超える


おまけ：
実際に計算してみると収支が負である確率は

n=602 で 0.050100

n=608 で 0.050983
n=609 で 0.049176
n=610 で 0.059720

中略

n=672 で 0.041642
n=673 で 0.050422
n=674 で 0.048715

n=680 で 0.049491

という感じなので正しい境界領域は 609≦n≦673 であり、この近似では少しずれた様子。
なんとなく感じてはいたが、n/7≒90 程度にスターリングの公式を使うのは無理があったようだ。
もう少しいい近似方法はないものか。