y=a^x と y=log_a(x) が3回交わる条件

二つのグラフy=a^xとy=log_a(x)が3つの共有点を持つためのaの範囲を求めよ。（lemp3様）

a＞1 のとき、y=a^x は下に凸な関数、y=log_a(x) は上に凸な関数。
したがってその交点は高々 2 個であり不適。
よって 0＜a＜1 である。

短調減少関数 y=a^x は直線 y=x と必ずどこかで交わる。
その点を (t, t) (t＞0) とおくと t=a^t

ここで、y=a^x と y=log_a(x) は逆関数であるので y=log_a(x) もその交点を通る。
すなわち (t, t) は与えられた 2 曲線の交点でもある。

いま、この点における y=a^x の傾きが -1 より小さかったとする。
すると y=log_a(x) の傾きはその逆数であるから -1 より大きい。
よってこの点の左側では a^x の方が上にあり、
右側では y=log_a(x) の方が上にある。

しかし、x→0 では log_a(x) の方が上にあり、x→∞ では y=a^x の方が上にあるので、
中間値の定理より a^x - log_a(x) = 0 となる点が (t, t) の左右に 1 つずつあるはずである。

よってこのような交点をもつことが 2 曲線が 3 交点を持つ条件である。
逆にこのような点が存在しない限りこの 2 曲線が 3 交点を持つことはない。

y=a^x の (t, t) における傾きは y'= a^t loga
これが -1 より小さければいいので a^t loga ＜ -1
t=a^t であったことを思い出すと t loga ＜ -1
両辺 e のべきとして a^t ＜ 1/e
再び t=a^t を用いて t ＜ 1/e

ここで、t=a^t より logt = t loga であるから loga = logt / t
f(x) = logx/x (0＜x＜1/e）は f'(x) = (1-logx)/x^2 ＞ 0より増加関数で、
x→0 で f(x)→-∞、f(1/e)=-e
よって、loga＜-e より 0＜a＜e^(-e)
これは 0＜a＜1 を満たしている。