放物線上の3点に関係する2つの三角形の面積比

C:y=ax^2(a≠0)上に3点P(p,ap^2),Q(q,aq^2),R(r,ar^2)をとり(p<q<r)、△PQRの面積をSとする。P,Q,RにおけるCの接線を引き、それら直線によって囲まれてできる三角形の面積をS'とする。比S:S'を求めよ。（amioP様）

Pでの接線は傾き 2ap なので y-ap^2 = 2ap(x-p)　　　　∴ y = 2apx - ap^2
p を q および r に変えればそれぞれ Q と R での接線となる。

Pでの接線とQでの接線の交点は
　 y = 2apx　　　- ap^2
-) y = 2aqx　　　- aq^2
-------------------------
　 0 = 2a(p-q)ｘ - a(p+q)(p-q)　　　　∴ x = (p+q)/2, y=apq
他の2交点も適当に文字を入れ替えればよい。

よって
S' = | {(q+r)/2-(p+r)/2} (apq-apr) - {(p+q)/2-(p+r)/2} (aqr-apr) | / 2
　　= | (q-p)/2 ap(q-r) - (q-r)/2 ar(q-p) | / 2
　　= |a|(p-q)(q-r)(r-p)/4


一方、
S = |a|/6 { (r-p)^3 - (r-q)^3 - (q-p)^3 }
　= |a|/6 { (r-p)^3 + (q-r)^3 + (p-q)^3 }
これは p, q, r について交代式で、しかも3次式。
よってこれは (p-q)(q-r)(r-p) の定数倍である。
pq^2 の係数は |a|/2 なので、係数をあわせて
S = |a|(p-q)(q-r)(r-p)/2

以上より S:S' = 2:1