4次式同士の和と積の分解

A×B＝x^8＋4x^7＋8x^6＋16x^5＋2x^4＋4x^3-8x^2＋1、A＋B＝2x^4＋4x^3＋8x^2＋2とする。
１）xが実数ならば(A＋B)^2≧4ABを示せ。
２）|A－B|を求めよ。
３）A＝0なる複素数xを全て求めよ。（cruz__F様）

1)
(A+B)^2 - 4AB
　= 4x^8 + 16x^7 + 48x^6 + 64x^5 + 72x^4 + 16x^3 + 32x^2 + 4
　　　　　 - (4x^8 + 16x^7 + 32x^6 + 64x^5 + 8x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 4)
　= 16x^6 + 64x^4 + 64x^2
　= {4x(x^2+2)}^2 ≧ 0
よって示された。

2)
| A-B |^2 = {4x(x^2+2)}^2 より
| A-B | = | 4x(x^2+2) | = | 4x^3 + 8x |
（xが実数とは限らないので右辺の絶対値記号は外すことができるとは限らない）

3)
A = { (A+B) + (A-B) } / 2 である。

(i)
A-B = 4x^3 + 8x のとき
A = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 1

A=0 とすると
x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 2x^2
(x+1)^4 = 2x^2
(x+1)^2 = ±√2x
x^2 + (2±√2)x +1

∴ x= ( -2-√2 ± (√(2＋4√2)) ) /2, ( -2＋√2 ± (√(2－4√2)) )/2

(ii)
A-B = - 4x^3 - 8x のとき
A = x^4 + 4x^2 - 4x + 1

A=0 とすると
x^4 + (2x-1)^2 = 0
x^2 ± (2x-1)i = 0
x = - i ± √(-1+i), i ± √(-1-i)

√(-1+i)= √(2√2-2)/2 + √(2√2+2)/2 i
√(-1+i)= - √(2√2-2)/2 + √(2√2+2)/2 i なので

∴ x = √(2√2-2)/2 ± {2-√(2√2+2)}/2 i, - √(2√2-2)/2 ± {2+√(2√2+2)}/2 i