正三角形内部の点から各頂点までの距離と辺長の関係

正三角形ABCの内部に点Pをとる。PA=a、PB=b、PC=cとするとき、△ABCの1辺の長さをa,b,cを用いて表せ。（studio_graph様）

求める長さを r とする。
|AB↑| = |AC↑| = r、また AB↑・AC↑ = r/2

AP↑= s AB↑+ t AC↑ とおく。

|AP↑|^2 = | s AB↑+ t AC↑|^2
　　　　　　= { s^2 + st + t^2 } r^2 = a^2
|BP↑|^2 = | (s-1) AB↑+ t AC↑|^2
　　　　　　= { (s-1)^2 + (s-1)t + t^2 } r^2 = b^2
|CP↑|^2 = | s AB↑+ (t-1) AC↑|^2
　　　　　　= { s^2 + s(t-1) + (t-1)^2 } r^2 = c^2

a^2-b^2 = (2s+t-1) r^2
a^2-c^2 = (s+2t-1) r^2

(3s-1) r^2 = a^2 - 2b^2 + c^2
(3t-1) r^2 = a^2 + b^2 - 2c^2

3sr^2 = a^2 - 2b^2 + c^2 + r^2
3tr^2 = a^2 + b^2 - 2c^2 + r^2

{ s^2 + st + t^2 } r^2 = a^2 の両辺に 9r^2 をかけて
(3sr^2)^2 + (3sr^2) (3tr^2) + (3tr^2)^2 = 9a^2r^2

3 (a^2+r^2)^2 - 3 (b^2+c^2) (a^2+r^2) + 3 (b^4-b^2c^2+c^4) = 9a^2r^2

a^4 + 2 a^2 r^2 + r^4 - (b^2+c^2) a^2 - (b^2+c^2) r^2 + b^4 - b^2 c^2 + c^4 = 3a^2r^2

r^4 - (a^2 + b^2 + c^2) r^2 + (a^4 + b^4 + c^4 - a^2 b^2 - b^2 c^2 - c^2 a^2) = 0

r = √{ 1/2 { a^2 + b^2 + c^2 + √（6 a^2 b^2 + 6 b^2 c^2 + 6 c^2 a^2 - 3 a^4 - 3 b^4 - 3 c^4) } }