総和と総乗が等しい数列

実数の列{a_n}を、任意の自然数nについてa_1+a_2+…+a_n=a_1・a_2・…・a_nを満たすように定める。a_1=a(≠1),S_n=Σ[k=1,n]a_kとするとき、lim[n,∞]S_nを求めよ。（amioP様）

S_(n+1) = a_1 + a_2 + …… + a_(n+1)
　　　　　= a_1 × a_2 × …… × a_(n+1)
　　　　　= S_n × ( S_(n+1) - S_n )

よって
S_(n+1) = S_n^2 / ( S_n - 1 )
　　　　　= S_n + 1 + 1/( S_n - 1 )


(i) a＞1 の場合

S_n＞1 のとき S_(n+1) ＞ S_n ＋ 1 である。

いま a＞1 より S_1＞1 であるので、
S_2 ＞ a + 1 ＞ 1
S_3 ＞ S_2 + 1 ＞ a + 2 ＞ 1
S_4 ＞ S_3 + 1 ＞ a + 3 ＞ 1
以下同様に繰り返して、
S_n ＞ a + (n-1)

lim [n→∞] { a + (n-1) } → ∞ であるので、
追い出し原理より lim [n→∞] S_n → ∞


(ii) a＜1 の場合

-1＜S_n≦0 となるようなnが存在することを示す。

(iiA) -1＜a≦0 の場合
n=1 が自明に条件を満たす。

(iiB) a≦-1 の場合
まず、「S_n≦-1 ならば S_n + 1/2≦S_(n+1)＜0」を示す。
S_(n+1) - (S_n + 1/2) = 1/2 - 1/(1-S_n)
S_n≦-1 より 1 - S_n≧2 なのでこれは非負である。
したがって S_(n+1) ≧ S_n + 1/2
また、 S_(n+1) = S_n^2 / (S_n-1) は S_n≦-1 において明らかに負数である。
よって「S_n≦-1 ならば S_n + 1/2≦S_(n+1)＜0」は示された。

すなわち、S_n ≦ -1 ならば次の項はそれより 1/2 以上大きい負数になるので、
S_1=a≦-1 から出発するといずれ -1＜S_n＜0 となるnが現れる。

(iiC) 0＜a＜1 の場合
S_2 = a^2 / (a-1) は明らかに負である。
これが-1より大きい場合はn=2が条件を満たす。
-1以下である場合は(iiB)の議論を用いることでいずれ -1＜S_n＜0 となるnが現れる。

以上(iiA)(iiB)(iiC)より -1＜S_n≦0 となるようなnが存在することが示された。

次に「-1＜S_n≦0 のとき、S_n/2＜S_(n+1)≦0 である」ことを示す。
S_(n+1) = S_n * { S_n / (S_n - 1) } = S_n {1 + 1/(S_n - 1) }
-2＜S_n - 1≦-1 より 0 ≦ 1 + 1/(S_n - 1) ＜ 1/2
よって S_n / 2≦S_(n+1)≦0

-1＜S_n≦0 となるようなnを1つ選び、それを n_0 とする。
S_n / 2≦S_(n+1)≦0 を繰り返し用いると、
S_(n_0) / 2^(n - n_0)≦S_(n)≦0 となる。
lim [n→∞] S_(n_0) / 2^(n - n_0) = 0 であるから、
はさみうちの原理より lim [n→∞] S_n = 0


a＜1 の場合の方針の解説：
このような双曲線型漸化式となる数列の極限問題ではさみうちの原理を用いるためには、
0 ≦a_(n+1) - k ≦ ｒ (a_n - k) を示すのが普通である。
（ただしkは極限と目される定数、rは漸近線の傾きで|r|＜1）

ところがこの問題は漸近線が y=x+1 であるため r=1。
つまり単純にやってもはさみうちの原理が適用出来る形にならない。
そこで充分大きなnに対しては (S_n, S_(n+1)) が (0, 0) と (-1, -1/2) の間にあることを示し、
この傾き 1/2 の線分を漸近線と平行な直線の代用としてはさみうちの原理に利用する。
この点 (-1, -1/2) は線分の傾きの絶対値が1未満、
かついずれその間の区間に入ってくる保証があれば、計算しやすい好きな点を選んでよい。