5 次元超楕円体の体積

5次元であるvwxyz空間において、各座標の1目盛りを1cmとする。この時、不等式(v/27)^2＋(w/4)^2＋x^2＋(2y)^2＋(3z)^2≦1を満たす物体の体積を、単位cm^5を用いて表せ。（average34様）

半径 r の 5 次元超球の体積 V を求める。
自明に V = cr^5 と表されるはずである。
このとき、dV/dr=S(r) より 5 次元球の超表面積は S(r)=5cr^4 となる。

ここで次のような積分を考える。
I = ∫[z:-∞→∞]∫[y:-∞→∞]∫[x:-∞→∞]∫[w:-∞→∞]∫[v:-∞→∞]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　e^(-v^2-w^2-x^2-y^2-z^2) dv dw dx dy dz

変数ごとに分けて考えるとこれは ∫[x:-∞→∞] e^(-x^2) dx = √π の 5 乗に等しく、
I = π^(5/2) と計算することができる。

一方でこれを 5 次元極座標に座標変換してやると角度部分の積分は S(r) になるので、
I = ∫[r:0→∞] e^(-r^2) S(r) dr
　= 5c ∫[r:0→∞] e^(-r^2) r^4 dr
　= 15c/2 ∫[t:0→∞] e^(-r^2) r^2 dr　(∵1回部分積分をした)
　= 15c/4 ∫[t:0→∞] e^(-r^2) dr　(∵もう1回部分積分をした)
　= 15c√π/8
となる。

よって 15c√π/8 = π^(5/2) であるから c = 8π^2/15
つまり半径 r の 5 次元超球の体積は 8π^2/15 r^5 である。

いま与えられた立体は 5 次元超楕円体で、5 次元超球を各軸方向に拡大縮小したものである。
よって求める体積は、8π^2/15×27cm×4cm×1cm×1/2cm×1/3cm = 48π^2/5 cm^5