傾いた楕円を与える二次曲線の方程式

２次曲線21x^2-10√3xy＋31y^2-114√3x＋246y＋567＝0について
１）この曲線と直線y＝-√3xが囲む図形のうち、小さい方の面積Sを求めよ。
２）この曲線と直線y＝-√3x＋3の交点の座標及びこの交点でのこの曲線の接線を求めよ。（azulune様）

##### しばらくただの計算 #####

正の実数 a, b, s, t は a^2+b^2=1 を満たすとする。

s^2(ax+by)^2 + t^2(bx-ay)^2 を展開して x, y について整理すると
(a^2s^2+b^2t^2)x^2 + 2ab(s^2-t^2)xy + (a^2t^2+b^2s^2)y^2

これと二次の係数を合わせるためには
a^2s^2 + b^2t^2 = 21
ab(s^2-t^2) = -5√3
a^2t^2 + b^2s^2 = 31

1 番目から 3 番目を引いて
(a^2-b^2)(s^2-t^2) = -10
2 番目とあわせて考えると
(√3(a^2-b^2)-2ab) = 0
(√3a+b)(a-√3b) = 0
a, b は正で a^2+b^2=1 であるから、a=√3/2, b=1/2

このとき
3s^2 + t^2 = 84
s^2 + 3t^2 = 124
より s^2 =16, t^2 = 36

よって
21x^2-10√3xy＋31y^2 = 4^2 (1/2 x + √3/2 y)^2 + 6^2 (√3/2 x - 1/2 y)^2

c, d を実数とする。

4^2 (√3/2 x + 1/2 y + c)^2 + 6^2 (1/2 x - √3/2 y + d)^2 を展開整理すると
21x^2-10√3xy＋31y^2 + (16√3c+36d)x +（16c-36√3d)y + 16c^2 + 36d^2

これと一次の係数を合わせるためには
8√3c+18d = -57√3
8c-18√3d = 123
これを解いて c=-3/2, d=-5√3/2

##### ここまでただの計算 #####

与えられた方程式は
4^2 (√3/2 x + 1/2 y - 3/2)^2 + 6^2 (1/2 x - √3/2 y - 5√3/2)^2 = 144
すなわち
(√3/2 x + 1/2 y - 3/2)^2 / 3^2 + (1/2 x - √3/2 y - 5√3/2)^2 / 2^2 = 1 である。


１）
これは中心(2√3, -3)、 長軸が y=√3/3x-5 で長半径 3、
短軸が y=-√3x+3 で短半径 2 の楕円である。

また、短軸と 直線y＝-√3x との距離は 3/2
従って求める面積は円 x^2 + y^2 = 1 の x≧1/2 部分の面積の 6 倍である。

したがって 6(π/3 - √3/4 ) = 2π - 3√3/2


２）
y＝-√3x＋3 は短軸そのものである。
よって、中心からこれにそって短半径 2 だけ移動したところが求める交点である。
したがって交点は (2√3±1, -(3±√3)) （複合同順）

接線は長軸 y=√3/3x-5 を ±(2,-2√3) だけ平行移動して y=√3/3x-5±4√3/3