行列の成分の比の極限

実数a、正整数nに対して行列[[1,1]][[1,1],[a^2,1]]^nの(1,1)、(1,2)成分を順にA_n、B_nとする。lim[n、∞](A_n/B_n)を求めよ。（cruz__F様）

A_(n+1) = A_n + a^2 B_n
B_(n+1) = A_n + B_n

下の式より A_n = B_(n+1) - B_n を上に代入して
B_(n+2) - B_(n+1) = B_(n+1) - B_n + a^2 B_n

これを 2 通りに変形する。
B_(n+2) - (1+a) B_(n+1) = (1-a) { B_(n+1) - (1+a) B_n }
B_(n+2) - (1-a) B_(n+1) = (1+a) { B_(n+1) - (1-a) B_n }

上の式から B_(n+1) - (1+a) B_n = (1-a)^n { B_1 - (1+a) B_0 } = (1-a)^(n+1)
(∵ A_0 = 1, B_0 = 1 より B_1 = 2 )

下の式からも同様に B_(n+1) - (1-a) B_n = (1+a)^(n+1)
これらを辺々引いて 2a B_n = (1+a)^(n+1) - (1-a)^(n+1)

2a A_n = 2a B_(n+1) - 2a B_n
　　　　　= a(1+a)^(n+1) + a(1-a)^(n+1)

a＞0 のとき、|1+a|＞|1-a| であるから、A_n/B_n → a
a＜0 のとき、|1+a|＜|1-a| であるから、A_n/B_n → -a

a=0 のときは A_(n+1) = A_n より A_n = 1, B_(n+1) = 1 + B_n より B_n = n+1
よって A_n/B_n → 0

まとめて書くと、lim [n→∞] (A_n/B_n) = |a|