2011^23 と 2011^(23!) の下4桁

１）2011^23の下4桁を求めよ。
２）2011^(23!)の下4桁を求めよ。（cruz__F様）

１）
2011^23 = (2000+11)^23
これを二項展開した時、下 4 桁に影響するのは最後の 2 項だけである。
よって、23×2000×11^22 + 11^23 の下 4 桁を求めればよい。

23×11^22 の一の位は 3 なので、23×2000×11^22 の下 4 桁は 6000

11^23 = (10+1)^23 において、下 4 桁に影響するのは最後の 4 項だけである。
23×22×21/6 ×1000 + 23×22/2 ×100 + 23 ×10 + 1 の下 4 桁だけ計算して 6531

よって 2011^23 の下 4 桁は 2531


２）
23! は 2×5×10×15×20 = 30000 の倍数であるので、10000 の倍数でもある。
よって 2011^(23!) = (2010+1)^(23!) を二項展開した時、
下 4 桁に影響するのは最後の項だけである。
したがって、1^(23!) の下 4 桁を求めればよく、0001 である。