空間の4直線全てと交わる直線

xyzグラフ上に2点A(2,1,－3)、P(1,p,－p)があり、4直線x＝y＝2、x＝z＝－2、x軸、APと全て交わる直線をLとする。
１）p＝3の時Lは捻れの位置に2本ある。間の最短距離を求めよ。
２）任意の実数pに対してLの本数を求めよ。（cruz__F様）

## 2 番の途中の式を 1 番で使うのでそっちから解きます

２）
x軸 と x=z=-2 と交わる直線は適当な実数 a, b を用いて
z = ay = b(x+2)-2 と書ける。
これが x=y=2 と交わるので、a = 2b-1
よって、z = (2b-1)y = b(x+2)-2

この直線を通る平面は適当な実数 k を用いて
z - b(x+2) + 2 + k{ z - (2b-1)y } = 0 と書ける。
これが A(2,1,-3) を通るとすると、
-3 - 4b + 2 + k{ -3 - (2b-1) } = 0
これを解いて 2(b+1)k = -(4b+1)
2(b+1){ z+2 - b(x+2) } - (4b+1){ z - (2b-1)y } = 0

L が AP と交わるためには、
点 P がこの平面上にあって L と AP が平行でなければよい。

まず点 P がこの平面上にある b の個数を考える。
2(b+1){ z+2 - b(x+2) } - (4b+1){ z - (2b-1)y } = 0 が P(1,p,-p) を通るので
2(b+1){ -p+2 - 3b } - (4b+1){ -p - (2b-1)p } = 0
(4p-3)b^2 - b - (p-2) = 0

これを満たす実数 b の個数は
p ＜ (11-√21)/8, (11+√21)/8 ＜ p ( p = 3/4を除く) のとき 2 個
p = (11±√21)/8, 3/4 のとき 1 個
(11-√21)/8 ＜ p ＜ (11+√21)/8 のとき 0 個


L の方向ベクトルは (2b-1, b ,(2b-1)b) で、AP の方向ベクトルは (1, 1-p, -3+p)
これが平行になる時、2b-1 = t, b = (1-p)t, (2b-1)b = (-3+p)t
これを解くと t = -3±2√2, b = -1±√2, p = 2±√2
よって p = 2±√2 のときは片方の b の値は
L, A, P が同一平面所にあるが L と AP が交わらない。

よって条件を満たす b の値の数すなわち L の本数は

p ＜ (11-√21)/8, (11+√21)/8 ＜ p ( p = 3/4, 2±√2を除く) のとき 2 個
p = (11±√21)/8, 3/4, 2±√2 のとき 1 個
(11-√21)/8 ＜ p ＜ (11+√21)/8 のとき 0 個



１）
p=3 のとき、9b^2 - b - 1 = 0 より b=(1±√37)/18
これをそれぞれ b_1 ＞ b_2 とする。
解と係数の関係より、b_1+b_2 = 1/9, b_1b_2 = -1/9, また b_1-b_2 = √37/9

z = (2b_1-1)y = b_1(x+2)-2 と z = (2b_2-1)y = b_2(x+2)-2 上の点を
(-2+(s+2)/b_1, s/(2b_1-1), s), (-2+(t+2)/b_2, t/(2b_2-1), t) とすると、
これらの間の距離の平方は
l^2 = {(s+2)/b_1-(t+2)/b_2}^2 + {s/(2b_1-1)-t/(2b_2-1)}^2 + (s-t)^2

(2b_1-1)(2b_2-1) = 4b_1b_2 - 2(b_1+b_2) + 1 = 1/3 と b_1b_2 = -1/9 から
l^2 = 81{b_2(s+2)-b_1(t+2)}^2 + 9{(2b_2-1)s-(2b_1-1)t}^2 + (s-t)^2

s+t=2u, s-t=2v と置き換えると s=u+v, t=u-v
l^2 = 81{b_2(u+v+2)-b_1(u-v+2)}^2 + 9{(2b_2-1)(u+v)-(2b_1-1)(u-v)}^2 + 4v^2
　　= 81{-(u+2)√37/9+v/9}^2 + 9{-2u√37/9-16v/9}^2 + 4v^2
　　= {-(u+2)√37+v}^2 + 1/9 {-2u√37-16v}^2 + 4v^2
　　= 481/9 (u + 23v/13√37 + 18/13)^2 + 376/13 (v-9√37/47)^2 + 296/47

よって u=-81/47, v=9√37/47 のとき l は最小値 2√3478 /47 をとる。
従って求める距離は 2√3478 /47


## 答えとしてあまりに複雑な数値ですが、
## √{{(s+2)/((1+√37)/18)-(t+2)/((1-√37)/18)}^2 + {s/(2((1+√37)/18)-1)-t/(2((1-√37)/18)-1)}^2 + (s-t)^2}
## の最小値を機械に計算させると確かに 2√(74/47) を返すので、
## 少なくとも l^2 の表式を最初に書いたところから先は間違えてないみたいですよ、これ。