台形の面積と周長を二等分する直線

xyグラフ上に4点A(－1,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)がある。四角形ABCDの周の長さと面積とを同時に２等分する直線の方程式を求めよ。（cruz__F様）

交点の片方が BC 上にある時、もう片方が DA 上にあり、
左右の台形で「上底+下底」が等しい時面積は二等分される。
その時、周の長さは A を含むほうが √2-1 だけ長く分割される。
よって条件を満たさない。


交点 P が CD 上にあり、交点 Q が AD 上にあるとき
PD+QD = 2+√2/2、PD×QD = 3/2
2x^2 - (4+√2)x + 3 = 0 を解いて x＝(4+√2±√(-6+8√2))/4
QD = (4+√2+√(-6+8√2))/4, PD = (4+√2-√(-6+8√2))/4 のとき、
点 P(1, (4+√2-√(-6+8√2))/4) は AD 上に、点 Q((-√2-√(-6+8√2))/4, 0) は AD 上にある。
この2点を通る直線の式は
y = (4+√2-√(-6+8√2))/(4+√2+√(-6+8√2)) (x-(-√2-√(-6+8√2))/4))
つまり
y = (3+4√2-√(5+24√2))x/6　+ (6-5√2+√(14+12√2))/12


交点 P が CD 上にあり、交点 Q が AB 上にあるとき
PD+AQ+2 = 2+√2/2 より AQ＜√2/2、PD＜√2/2 なので、
PD(2-AQ/√2)/2 + AQ/√2 ＜ 1/2 + 3√2/8 ＜ 3/2
よって条件を満たさない。


交点 P が AD 上にあり、交点 Q が AB 上にあるとき
AP+AQ = 2+√2/2、AP×AQ = 3√2/2
2x^2 - (4+√2)x + 3√2 = 0 は実数解を持たないので条件を満たさない。


以上より求める直線は y = (3+4√2-√(5+24√2))x/6　+ (6-5√2+√(14+12√2))/12