四次関数の自己共通接線

実数a,b,c,dに対して曲線C：y＝x^4＋ax^3＋bx^2＋cx＋dが直線Lと相異なる2点で接するとき、以下を求めよ。
１）a,bの関係式
２）CとLとが囲む領域の面積
３）Lの方程式（cruz__F様）

１）
接点のx座標を α, β として L：y = mx + k とすると、
C の式は y=(x-α)^2(x-β)^2 + mx + k

すなわち
a = -2（α+β)
b = α^2 + 4αβ + β^2
c = -2αβ（α+β) + m
d = α^2β^2 + n

3a^2 - 8b = 4α^2 - 8αβ + 4β^2 = 4（α-β) ^2
α-β は 0 以外のすべての実数をとるので、関係式は 3a^2 - 8b ＞0


２）
β-α = t とすると
S = ∫[x:α→β] (x-α)^2(x-β)^2 dx
　 = ∫[x:0→t] x^2(x-t)^2 dx
　 = ∫[x:0→t] x^4 - 2tx^3 + t^2x^2 dx
　 = ∫[x:0→t] 1/5 x^5 - 1/2 tx^4 + 1/3 t^2x^3 dx
　 = (1/5 - 1/2 + 1/3) t^5
　 = 1/30 t^5

一方 4t^2 = 3a^2 - 8b なので、
S = (3a^2 - 8b)^(5/2) / 960


３）
αβ = ((α+β)^2 - (α-β)^2)/4 = (a^2/4 - (3/4 a^2 - 2b))/4 = (4b-a^2)/8 より
m = c + 2αβ（α+β) = c - a(4b-a^2)/8
n = d - α^2β^2 = d - (4b-a^2)^2/64

したがって L の方程式は
y = (c-a(4b-a^2)/8)x + d - (4b-a^2)^2/64