どの2点間の距離も1かkである4点

4点を6本の線分で結んだ図形が平面上にあり、どの線分の長さも1またはk[k＞1]である。
１）kの取り得る値全てを小さい順に並べよ。
２）この図形全体の取り得る面積全てを小さい順に並べよ。（cruz__F様）

ABC が長さ 1 の三角形、かつ D と結ぶ 3 本の線分が 1, 1, k だとすると
正三角形が 2 つくっつけた図形ができ、
k = √(2-2cos(2π/3)) = √3
S = 1/2×sin(π/3)×2 = √3/2

ABC が長さ 1 の三角形、かつ D と結ぶ 3 本の線分が 1, k, k だとすると
二等辺三角形の中に正三角形がある図形ができ、
k = √(2-2cos(5π/6)) = (√2+√6)/2
S = 1/2 k^2 sin(π/6) = (2+√3)/4

ABC が長さ k の三角形、かつ D と結ぶ 3 本の線分が 1, 1, 1 だとすると
正三角形の中心と各頂点を結んだ図形ができ、
k = √(2-2cos(2π/3)) = √3
S = 1/2 k^2 sin(π/3) = 3√3/4

ABC が長さ k の三角形、かつ D と結ぶ 3 本の線分が 1, 1, k だとすると
頂角 π/6 で辺長 k, k, 1 の二等辺三角形を2つくっつけた図形ができ、
k = √(2-2cos(5π/6)) = (√2+√6)/2
S = 1/2 k^2 sin(π/6)×2 = (2+√3)/2


図形の中に正三角形が存在しない場合は対角線がどちらも k の四角形になる。
そのうち三辺は長さ 1 である。

残りの辺も 1 だとすると、正方形ができ、
k = √2
S = 1

残りの辺が k だとすると正五角形のうち四頂点を結んだ等脚台形になり、
k = (1+√5)/2
S = 1/2 cos(3π/5) + 1/2 k^2 cos(π/5) = 1/8 √(50+22√5)

できる図形は以上の 6 つである。
よって、

１）
k = √2, (1+√5)/2, √3, (√2+√6)/2

２）
S = √3/2, (2+√3)/4, 1, 1/8 √(50+22√5), 3√3/4, (2+√3)/2